Геометрия в нашей жизни

20 Июл
2014

Многие думают, что математика – сложная, абстрактная, скучная, бесполезная и далекая от реальной жизни наука. Поэтому вы будете удивлены, узнав, что геометрия – важный раздел математики – появилась из-за необходимости решать определенные практические задачи.

Считается, что ее придумали египтяне, которым нужно было периодически размечать землю, потому что река Нил во время наводнений постоянно стирала границы. В самом деле с точки зрения этимологии слово геометрия означает «измерение земли».

Математика настолько практична, что немногое из окружающего нас может без нее функционировать. От банков и магазинов, бирж и страховых компаний до штрих-кодов, прослушивания дисков и разговоров по мобильному телефону – все это и многое другое работает благодаря процессорам и математическим моделям, задача которых – постоянное выполнение математических операций.

Резкий скачок в развитии технологий и науки произошел в сравнительно сжатые сроки. Физика, медицина, химия, гражданское строительство, архитектура, электроника и освоение космоса, а также многие другие области знаний, которые упрощают нам жизнь, оказались бы нежизнеспособными без изобретенных математикой методов, с помощью которых развивались теоретические модели, на которых основываются их исследования.

Студенты обычно думают, что математика не имеет практического применения. Однако каждый раз, когда в наших руках оказываются деньги, мы выполняем математические операции. А геометрия, один из основных разделов математики, тесно связана с нашей повседневной жизнью. Наши дома полны объектов, созданных с использованием точных геометрических форм, хотя мы можем этого и не осознавать.

 

Распространенные геометрические формы

Люди впервые заинтересовались геометрическими формами, наблюдая за природой. Люди – творческие создания: большая часть окружающих нас объектов приняла геометрические очертания, которые из которых не существуют в природе.

Геометрия присутствует практически во всех сферах нашей жизни: нас окружают круглые, квадратные, прямоугольные, треугольные, сферические, кубические, цилиндрические, конические и другие объекты.

Обычно мы не задумываемся о том, почему объекты имеют ту или иную форму, а ее выбор далеко не случаен.

Одна из самых распространенных форм – это окружность и то, что ею ограничено, то есть круг. Вы, наверное, не задумывались, почему трубы – круглые в сечении.

Одна из причин в том, что окружность – это замкнутая дуга с постоянной шириной. По этой причине, например, люки не проваливаются вниз, что приводило бы к несчастным случаям, а будь они квадратными и прямоугольными, это стало бы неизбежным.

Еще одно свойство окружности: из всех замкнутых кривых заданной длины круг покрывает наибольшую площадь. Это объясняет тот факт, что природа часто использует круг и его объемный эквивалент – сферу Природа всегда останавливает выбор на самых стабильных формах, минимально расходующих энергию.

Сфера полностью отвечает требованиям, поскольку она обладает максимальным внутренним объемом на единицу поверхности. Это одна из причин, по которой большая часть резервуаров имеет сферическую форму, а консервные банки, термосы и бутылки напоминают цилиндры. Человек попытался совместить минимальную внешнюю поверхность и материалозатраты с максимальным внутренним объемом.

Небесные тела большой массы, такие как звезды, планеты и спутники тоже сферической формы. Сила притяжения толкает каждый атом к центру тела. Со временем оно приобретает сферическую форму, потому что именно в ней достигается максимальная концентрация массы при минимальной площади внешней поверхности.

 

Конические и другие кривые

Коническая кривая получается при пересечении конуса плоскостью. Если плоскость горизонтальная, мы получаем окружность. Если плоскость слегка наклонена – то эллипс. Если секущая плоскость параллельная одной из касательных плоскостей конуса, то коническое сечение принимает вид параболы. Если плоскость параллельна двум образующим конуса (в частности, когда секущая плоскость параллельна оси конуса) – то будет гипербола.

Благодаря Кеплеру и Ньютону мы знаем, что орбиты планет и других небесных тел эллиптические. Все эти кривые ближе к нашей жизни, чем мы думаем. Например, когда мы пьем воду из круглого стакана, перед самым нашим носом образуется… эллипс. Лампа хирурга тоже эллиптическая, что позволяет врачу сфокусировать весь свет в определенной точке.

Существует несколько эллиптических площадей, например, площадь Святого Петра в Ватикане. Когда мы бросаем мяч, он описывает параболу точно так, как льющаяся из шланга вода. Мост «Золотые ворота» в Сан-Франциско гордо демонстрирует свои параболы с 1937 года. Солнечные панели, спутниковые тарелки, фары машин и радиотелескопы – все это различные применения нашего конического сечения.

Благодаря своей отражающей способности эллипсы и параболы используют в постройке куполов дворцов и соборов, а также амфитеатров, чтобы зрители четко слышали актеров. «Зал секретов» Альгамбры в Гранаде и собор Святого Павла в Лондоне – великолепные примеры этого акустического свойства.

Когда мы прикладываем руку к уху, чтобы лучше слышать, мы неосознанно формируем параболу в трех измерениях.

Все знают, что происходит в машине, когда мы делаем крутой поворот, не сбрасывая скорости после длинного прямого участка. Не просто так кривые развязок на шоссе, а также рельсы скоростных поездов имеют знакомую нам форму. Это кривая под названием клотоида, или спираль Корню часто используется в гражданском строительстве, поскольку она позволяет машинам сохранять на изгибах дорог постоянную скорость. При этом водителю не приходится бороться с рулем или центробежной силой, чего не удается избежать гонщикам «Формулы-1». В этом случае пассажиры не испытывают дискомфорта, и риск аварии сведен к минимуму.

Циклоида – это кривая, описываемая точкой окружности, катящейся по прямой. У этой кривой много удивительных свойств. Одно из них можно продемонстрировать, перевернув циклоиду и поместив несколько подвижных объектов на разную высоту, четыре шарика, например. Мы увидим, что оба они достигнут земли одновременно в независимости от того, из какой точки начали путь. Циклоида – это кривая скорейшего спуска, поэтому трюки на скейтборде получаются зрелищнее на трамплине именно такой формы.

Линии электропередач очень похожи на параболу. Это форма, которую принимают под собственным весом канат или цепь, подвешенные за два конца.

Архитектурные свойства арки в форме параболы делают ее идеальной математически. Перевернутая цепная линия – это арка, которая держит сама себя и не требует никаких дополнительных опор. Ворота Сент-Луиса в Миссури – прекрасный пример такой арки. Знаменитый испанский архитектор Гауди обожал эту кривую и использовал во многих своих творениях, например, в Каса Мила в Барселоне.

Еще одна распространенная геометрическая форма – это спираль. Мы видим ее на горлышках бутылок, болтах, штопоре, прищепках, пружинах, винтовых лестницах, нитях накаливания электрических ламп. Даже молекула ДНК представляет собой двойную спираль.

 

Геометрия в искусстве

Использование геометрических форм в искусстве свойственно всем цивилизациям, особенно – исламскому миру. Один из самых выдающихся примеров геометрического искусства – это мозаики Альгамбры в испанской Гранаде. Вообще, исламские мозаики – это видоизмененные правильные многоугольники. Еще один из методов создания мозаики – это вращение и наложение правильных многоугольников.

В 1891 году математик Федоров выдвинул теорию, которую назовут в его честь. Она говорит о том, что такой тип мозаик составляется из 17 основных структур, называемых плоскими кристаллографическими группами.

Альгамбра – единственный памятник, украшенный 17 основными плоскими декоративными геометрическими рисунками, появившийся до Федорова. Таким образом, средневековые арабские математики эмпирически установили то, что будет доказано лишь через несколько столетий.

 

Другие практические применения геометрии

Помимо использования в искусстве, геометрия имеет бесчисленное множество практических применений.

Топография – это геометрия, применяемая для описания местности, на которой нужно что-то построить. Она используется для определений и вычислений расстояний, углов и других параметров, чтобы иметь возможность проводить работы с максимальной точностью.

Гражданское строительство и архитектура постоянно используют геометрические формы для проектирования разного типа сооружений, таких как мосты, здания, водохранилища, тоннели и автострады.

Изобретение, которое сегодня используют во многих странах – система глобального позиционирования, которая работает по тому же принципу, что и другие подобные системы — европейская Галилео и российская ГЛОНАСС, и базируется на законах геометрии и тригонометрии. Она используется в таких важных областях, как телефония, телевидение, сети связи, сельское хозяйство, поиск нефти и газа, морской, сухопутный и воздушный транспорт, и даже заменила в наших машинах привычные карты.

Система GPS использует сеть из 24 спутников, вращающихся вокруг Земли на высоте 20 километров. Навигатор GPS автоматически находит минимум 4 спутника: три – чтобы определить местоположение и четвертый – чтобы компенсировать возможные отклонения. Он получает информацию о времени положении каждого из них. На основании этих сигналов аппарат синхронизирует часы GPS и вычисляет задержку сигнала, т.е. расстояние до спутника. Используя триангуляцию, он определяет точное положение, используя данные об удаленности каждого спутника от точки, в которой проводится измерение.

Математика развивалась в течение тысячелетий, в основе ее лежала необходимость считать объекты и измерять формы. Это в свою очередь способствовало развитию других наук, которые позволили нам увидеть окружающий мир с совершенно другой стороны.

Математика – один из мощнейших инструментов, изобретенных человеком для познания окружающего мира. Она позволяет описать эллиптические орбиты планет, измерить площади участков и даже размер телевизионного экрана. Мы не видим субатомный мир и не можем ощутить, что такое миллион лет, но благодаря математике вся реальность — и видимая, и невидимая – стала нам доступна.

 

Золотое сечение

Среди нас живет загадочное число. И хотя оно незнакомо большей части людей, его влияние на нашу жизнь можно увидеть во многих окружающих нас формах. Золотое сечение, или соотношение, присутствует повсюду, даже в самых необычных местах. Хотя эта последовательность чисел не несет для нас никакого особенного смысла, золотое число, обозначаемое греческой буквой φ (фи), тысячелетиями завораживало художников и математиков.

Математики древности и средневековья называли золотым сечением деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение приближенно равно 0,618.

Почему некоторые формы и объекты кажутся нам более гармоничными и привлекательными, чем другие?

Ответ часто связывают с золотым сечением, которое еще называют золотым числом, божественной пропорцией, золотой пропорцией или идеальной пропорцией.

Число фи тесно связано с последовательностью Фибоначчи, в которой каждое следующее число равно сумме двух предыдущих (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …).

Эта последовательность обладает потрясающими свойствами. Одно из них состоит в том, что при делении каждого ее члена на предыдущий результат всегда будет представлять собой бесконечное десятичное число, которое мистическим образом приближается к числу фи.

Одно из замечательных свойств числа фи – его логарифмическая спираль, которая разворачивается, используя золотое число как геометрический индекс.

 

Золотое сечение в искусстве

С древних времен художники знали, что золотое сечение – это самое гармоничное и приятное глазу соотношение.

Таким образом, не случайно пирамида Хеопса, построенная не менее 46 веков назад, состоит из необыкновенных соотношений, некоторые из которых связаны с числом фи. Например, отношение высоты треугольной стороны к половине ее основания – не что иное, как золотое число. И если этого мало, отношение общей площади к внутренней тоже равно золотому числу. Наконец, если бы мы разделили общую площадь четырех треугольных граней пирамиды на площадь ее основания, то получили бы 1,618, т.е. снова золотое число.

Греки тоже знали о золотом числе и использовали его в храмах и скульптурах. Вообще, число фи названо так в честь знаменитого греческого скульптора Фидия. Позже многие художники, архитекторы и скульпторы, такие как Леонардо да Винчи, Микеланджело, Дюрер, Сера и Дали, применяли число фи в своих работах. Знаменитый архитектор Ле Корбюзье очень любил золотое число. Он постоянно использовал его, и не только в зданиях, но и в некоторых других своих проектах.

В других видах искусства, таких как поэзия, музыка и даже кино, золотое число считается олицетворением внутренней гармонии, устанавливающем ритм и соотношение между частями в произведениях.

Даже частота музыкальных нот – популярное до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до – в основе своей имеет золотое число.

Легендарные скрипки Страдивари – самые ценные музыкальные инструменты в истории, были созданы с использованием золотой пропорции. Этому они обязаны необыкновенными акустическими свойствами.

Золотое число присутствует в пятиконечной звезде.

Сегодня многие компании используют принцип золотого сечения в логотипах, упаковке и продуктах, чтобы сделать их более привлекательными.

Золотое число и последовательность Фибоначчи присутствует во множестве объектов: в форме некоторых книг, кредитных карт и удостоверений личности в разных странах.

 

Золотое число в природе

Если и есть королевство числа фи, то это без сомнения сама природа. Здесь золотое число присутствует повсюду и управляет множеством процессов.

Можно подумать, что подсолнухи – гении во многих отношениях, ведь их бесчисленные семена расположены таким образом, чтобы максимально использовать предоставленную им площадь, не теряя ни миллиметра. Это происходит благодаря тому, что они выложены в виде двух пересекающихся спиралей справа налево и наоборот. У небольших соцветий в спирали по 34 и 55 семян, у крупных – по 55 и 89. Думаете, эти комбинации случайно совпадают с числами в последовательности Фибоначчи?

Нечто похожее происходит с ячейками в ананасах. У них 8 правосторонних спиралей, 13 левосторонних и 21 вертикальная. Снова последовательность Фибоначчи.

Количество лепестков во многих соцветиях совпадает с числами из этой последовательности. Ветви и листья растений расположены в таком порядке, чтобы получать максимум света. Листья распределены по ветвям в последовательности, основанной на золотом числе. Благодаря этому они не мешают друг другу.

Золотое число влияет на рост раковин, таких как кораблики, их спиральная форма базируется на числе фи. Еще оно управляет ростом рогов некоторых жвачных животных.

Тропические циклоны и спиральные галактики, паутина, траектория, по которой хищные птицы пикируют на добычу, язык бабочки, хвосты некоторых обезьян – все это испытало на себе влияние спиралей и золотого числа.

В человеческом теле тоже присутствует эта волшебная пропорция. Форма уха представляет собой логарифмическую спираль, а отношение роста к расстоянию от пупка до земли удивительно близко к золотому числу. В наших руках соотношение между фалангами пальцев тоже подчиняется золотому числу. И как будто этого мало. Если разделить длину предплечья на длину ладони, то получится, угадайте, что? Вездесущее золотое число.

 

Фракталы

Мы привыкли к традиционным формам евклидовой геометрии, знакомой нам уже 23 века: линии, прямоугольники, окружности, многоугольники на плоскости и т.д. И хотя это единственный вид геометрии, с которым знакомы многие люди, евклидова геометрия – всего лишь один из примеров существующих геометрий.

Природа обычно не выражает себя в симметричной или правильной форме, а евклидова геометрия не располагает необходимыми инструментами, чтобы изучать ее феномены. Например, облако может походить на сферу, но не является ею, некоторые горы и холмы напоминают конусы, но это не так, а реки и береговые линии далеки от прямых линий. Тем не менее в творениях природы скрыт незримый порядок, и тех, кто решится присмотреться к ним повнимательнее, ждут сюрпризы.

Последние несколько десятилетий проводились исследования нового необычного семейства фигур, сочетающих искусство, хаос и геометрию, и обладающих потрясающими свойствами. Это фракталы.

Фракталы – это геометрические объекты, имеющие неправильную и кажущуюся хаотичной форму, элементы которой устремлены в бесконечность. По этому причине фрактальную геометрию называют геометрией хаоса.

Если бы мы анализировали фракталы, то увидели бы фрагменты, повторяющиеся бесконечное количество раз при изменении масштаба в независимости от того, насколько мы увеличим фрактал, ведь одно из основных его свойств – это самоподобие.

При приближении фрактала перед нами открываются иные миры. Новые фрагменты повторяются снова и снова до бесконечности.

 

Применение фракталов

Получить фрактал довольно просто. Фракталы основаны на применении повторяемой, обычно достаточно простой математической формулы, каждый шаг начинается с результата предыдущего. И все они связаны с цветовым кодом – своим для каждого типа результатов. Компьютеры – идеальные инструменты для проведения этих операций.

Множество Мандельброта — классический образец фрактала. Несмотря на незамысловатый вид, это один из самых сложных существующих математических объектов. Подсчитано, что его изучение займет целую жизнь.

Несмотря на искусственный, странный и даже психоделический характер, фрактальную геометрию часто называют геометрией природы, поскольку она присутствует в огромном количестве окружающих нас объектов: лист папоротника, вспышка молнии, ветви и корни деревьев, наша мочеполовая система, протоки печени, сеть коронарных волокон, передающих электрические импульсы, артерии и капилляры в нашем теле, бронхи млекопитающих, облака и цветная капуста, система нейронов, распределение звезд во Вселенной и кристаллы снежинок. Все это и многое другое – примеры фрактальных структур.

Фрактальная геометрия – это не просто олицетворение эстетики и математической загадки, с помощью фракталов многие физики, химики, биологи и экономисты решают сложные задачи, старые ответы предстают перед ними в новом свете.

Благодаря фракталам мы можем точно измерить длину береговой линии страны и определить степень складчатости любой поверхности – от коры дерева до, например, целой планеты. Фракталы позволили нам узнать, что поверхность Марса менее ровная, чем поверхность Земли. В медицине фракталы помогают разбираться в сосудистой и нервной системах. Фрактальная геометрия позволяет нам изучать микроструктуру минералов, а также проводить геологические исследования и находить месторождения.

Еще ее используют в таких далеких друг от друга областях, как составление планов городов, анализ колебаний цен на фондовом рынке, изучение роста колоний бактерий и составление прогнозов грядущих землетрясений и торнадо.

Фрактальная геометрия – без сомнения, самый ценный инструмент для интерпретации природы и анализа кажущихся хаотическими явлений.

 

Топология и теория графов

Этим необычным названием окрестили один из разделов математики – топологию – просьба не путать с топографией.

Топология изучает поведение геометрических фигур при изменении их структуры с использованием определенных правил. В топологии углы и расстояния не имеют значение, даже наоборот: можно раздувать, сгибать, растягивать и переворачивать геометрические фигуры, как будто они нарисованы на гибкой поверхности, например, на резиновом листе. Однако, запрещается разделять то, что было соединено и наоборот – соединять отдельные элементы. Другими словами, первая и последняя фигуры должны состоять из одного числа частей, соединений и пустот.

Таким образом, с точки зрения топологии треугольник – это то же самое, что окружность, квадрат или пятиугольник, ведь мы можем бесконечно переходить от одной фигуры к другой, ничего не вырезая и не вставляя. А вот эллипс – не то же самое, что прямая линия, ведь нам придется где-то его разрезать. Окружность не может принять вид лемнискаты, известного геометрического символа бесконечности, ведь в исходной фигуре нет никаких пересечений.

С геометрией тесно связана теория графов. Граф – это множество точек, называемых вершинами, некоторые из которых соединены между собой с помощью ребер.

Топология зародилась, когда Леонард Эйлер, один из талантливейших математиков в истории, разгадал загадку мостов Кенигсберга. В 1735 году он доказал, что невозможно пересечь 7 мостов через реку Преголя и вернуться в начало пути, не воспользовавшись хотя бы одним мостом дважды. Для этого он использовал граф с четырьмя вершинам и семью ребрами.

Наверное, вы задаетесь вопросом: в чем смысл решения этой странной задачи? Тем не менее со временем топологии и теории графов нашлось множество подчас неожиданных применений. И они значительно упростили решение задач, возникающих по мере развития нашего общества. Примером могут служить телекоммуникационные сети, стационарные и мобильные телефоны, интернет, цифровое телевидение и так далее, которые не могли бы функционировать, если был не были должным образом организованы.

Другие применения – это изучение городских и междугородных транспортных сетей, маршрутов автобусов и трамваев, составление диаграмм, определяющих оптимальный поток и решающих проблему «пробок». Изучение электрических цепей, анализ поведения молекул, структуры веб-сайта, логистическое планирование и вообще создание разного рода сводных таблиц и диаграмм.

Четыре столетия назад Галилей сказал: «Книга природы написана на языке математики, ее герои – треугольники, круги и другие геометрические фигуры». Сегодня его определение как никогда актуально.

Наука находит математические структуры во всех природных явлениях. Даже те, которые, казалось бы, лишены какой-либо системы, подчиняются числовой модели. Иногда нам нужно всего лишь заглянуть чуть дальше, и мы познаем новые миры, которые были там всегда, хоть мы и увидели их впервые.

Ничто не кажется более абстрактным и далеким от реального мира, чем математика. Однако нам нужно всего лишь изменить перспективу, взглянуть на окружающие объекты и даже собственное тело другими глазами и понять, что числа и геометрические фигуры связаны с нами гораздо теснее, чем мы можем предположить.

 

Подведение итогов

Развитие технологий тесно связано со всеми разделами математики. Математические модели способствовали развитию таких наук, как физика, медицина, электроника, строительство и архитектура.

В повседневной жизни мы сплошь и рядом встречаем объекты, образованные точными геометрическими формами.

Окружность – это кривая с постоянной шириной. Для люков колодцев обычно используют именно эту форму, чтобы они не проваливались внутрь.

Сфера – это объект, содержащий максимальный объем на единицу поверхности, поэтому резервуары для воды и нефти – обычно такой формы. Природа тоже использует сферы. Это наиболее стабильные формы, минимально расходующие энергию. Подобную форму имеют, например, помидоры. Мыльные пузыри, капли масла в воде и планеты – тоже сферы.

Конические кривые получаются от пересечения конуса плоскостью. Если плоскость горизонтальная – мы видим окружность, если она наклонная, то получаются эллипсы, параболы и гиперболы.

Клотоида – это кривая, используемая при строительстве съездов и въездов на автостраду, она позволяет менять направление без неприятных ощущений.

Циклоида – это кривая скорейшего спуска. Ее используют скейтбордисты.

Цепная линия, или арка, которая держит сама себя, применяется в архитектуре.

Спираль можно увидеть во многих объектах. Даже молекула ДНК – это двойная спираль.

Мозаики Альгамбры – прекрасный пример средневекового мусульманского геометрического искусства.

Геометрия имеет множество практических применений. Топография, гражданское строительство и архитектура используют этот раздел математики для возведения различных объектов.

Спутниковые системы позиционирования, такие как Галилео, GPS и ГЛОНАСС, применяют геометрию в своих вычислениях, строя воображаемые сферы и используя триангуляцию для определения расстояний и углов.

Геометрия, как и остальные разделы математики, зародилась из практических соображений. Ее с любовью развивали, чтобы изучать формы. Сегодня она имеет огромное количество практических применений. Кроме того, она необходима для описания Вселенной.

Число φ (фи), присутствующее в жизни и природе, столетиями завораживало художников и ученых. Это число тесно связано с последовательностью Фибоначчи, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.

Золотое сечение всегда считалось наиболее приятным для глаза соотношением. Египтяне использовали золотое число при постройке пирамиды Хеопса. Греки тоже применяли его в своих произведениях. Позже это делали Леонардо да Винчи, Дюрер, Сера, Дали и Ле Корбюзье. Музыка, кино и поэзия тоже используют золотое число. Можно найти несколько примеров и в природе: в том, как распределяются семена подсолнуха и ячейки ананаса, в размещении ветвей и листьев, в раковинах моллюсков и рогах жвачных животных. Наше тело тоже во многих отношениях подчинено золотому числу. Пример тому – наши уши, фаланги пальцев, ладони и предплечья.

Фракталы – это новое семейство кривых, образующих неправильные геометрические фигуры, однако все они имеют внутреннюю структуру, основанную на математических моделях. Одно из главных свойств фракталов – это их самоподобие. Если мы увеличим изображение, то увидим, что его элементы повторяются снова и снова до бесконечности. Существует множество примеров фрактальных структур: молния, корни и ветви деревьев, наша кровеносная система, облака, цветная капуста и распределение звезд во Вселенной. Фракталы имеют множество применений в медицине, геологии, экономике и прогнозировании землетрясений и торнадо.

Топология основывается на изучении геометрических фигур при изменении их формы. Корни ее уходят во времена шведского математика Эйлера, который разгадал загадку кенигсбергских мостов. Среди задач, для решения которых используют топологию, можно назвать проектировку телекоммуникационных сетей, изучение электрических цепей, логистическое планирование, составление маршрутов движения городского транспорта и создание графиков и диаграмм.


 

Комментарии:

наверх